2026年7月23日，国际数学家大会在美国费城开幕。当菲尔兹奖得主名单揭晓，两位中国青年数学家王虹和邓煜的名字赫然在列——这是中国数学界的历史性时刻，中国人第一次捧起了这枚被誉为"数学界诺贝尔奖"的金质奖章。

生于1991年的王虹，来自广西桂林，现任纽约大学科朗数学科学研究所助理教授。她获奖的核心成果，是破解了困扰数学界一个多世纪的"三维挂谷集猜想"。

从"武士如厕"到百年难题

挂谷集猜想的故事，要从1917年说起。日本数学家挂谷宗一提出了一个脑洞大开的问题，后人的叙述版本很生动：一位武士在上厕所时被偷袭，箭如雨下，他只剩一根短棒防身。为了挡下四面八方的箭矢，武士得把短棒旋转一圈——但厕所实在太小了，他必须让短棒扫过的面积尽可能小。问，这个面积最小能小到多少？

翻译成数学语言就是：平面上存在一个面积最小的区域D，让一根长度为1的线段能在D内完成360°旋转吗？这样的区域就叫做挂谷集。

挂谷集的一个例子，左侧为绕单位线段中心旋转的圆，面积为π/4，右侧为刚好可以容纳单位线段的三尖瓣线，面积为π/8。（资料图）

直觉上，线段绕端点转一圈扫出一个半径为1的圆，面积是π；绕中点转一圈扫出半径1/2的圆，面积π/4。挂谷宗一认为极限是π/8——一个三尖瓣线围成的区域。但1920年，苏联数学家贝西科维奇给出了一个颠覆性的答案：平面挂谷集的面积可以无限趋近于零。他构造的"贝西科维奇集"包含了指向所有方向的单位线段，但其勒贝格测度为零，换句话说，"面积"为零。

这个结果把挂谷集从平面几何推向了分析学的深水区。更重要的是，数学家们逐渐发现，挂谷集与偏微分方程、数论、调和分析中的限制问题和博纳赫-里斯猜想等核心难题都有着千丝万缕的联系。

一个自然的推广随之而来：把问题从二维平面推到三维乃至更高维空间。挂谷集猜想因此被提出——n维空间中挂谷集的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数等于n。

维数：当曲线也能填满正方形

这里有两个关键概念：豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数。要理解它们，先要理解维数这个概念并不像看起来那么简单。

直线是一维，平面是二维，立体是三维——这是常识。但1890年代，意大利数学家皮亚诺和德国数学家希尔伯特先后构造出了能填满整个单位正方形的曲线。明明是一维的曲线，却有二维的"面积"。紧随其后，波兰数学家谢尔宾斯基构造出了"面积"为零的平面图形——谢尔平斯基三角形和谢尔平斯基地毯。

在单位正方形内生成希尔伯特曲线的前六步，第n步的希尔伯特曲线的长度是2ⁿ-2⁻ⁿ。（资料图）

这些反例推翻了数学家对维数的直觉。1918年，德国数学家豪斯多夫提出了一种新思路：看体积随几何体缩放时的变化率。正方形边长扩大一倍，面积变成四倍，指数是2；立方体边长扩大一倍，体积变成八倍，指数是3。这个指数就是豪斯多夫维数。闵可夫斯基维数（也叫计盒维数）思路类似，只不过用方格覆盖来算。

按照这些新定义，皮亚诺曲线的豪斯多夫维数是2，谢尔平斯基三角形约为1.585。挂谷集猜想正是在这种精细的维度语言下被表述的。

127页论文的背后

二维挂谷集猜想在1971年被英国数学家戴维斯解决。但升到三维，难题瞬间变得异常艰巨。陶哲轩、1994年菲尔兹奖得主布尔甘等顶尖数学家都投入过研究，进展却极其缓慢。1994年，美国数学家沃尔夫证明了三维挂谷集的维数不小于2.5。1999年，卡茨、拉巴和陶哲轩把这个下限提高了微不足道的一百亿分之一——2.5000000001。

此后二十多年，这个数字纹丝不动。直到王虹和扎尔出手。

王虹与不列颠哥伦比亚大学的约书亚·扎尔合作完成了一个"三部曲"式的攻坚。2022年，两人先解决了"粘性挂谷集"这一特殊情形下的三维猜想。2024年，他们又对一种稍弱一些的阿苏德维数证明了三维猜想。最终在2025年，一篇127页的论文问世，给出了三维挂谷集猜想的完整证明。三篇论文加起来长达234页。

陶哲轩在自己的博客上将这项工作称为"几何测度论领域的惊人进展"。他评价说，论文论证过程中用到了大量前人的思想——包括他自己和合作者的成果——但所需的分析和迭代过程极其复杂精巧，需要大量全新的思路和方法才能走完全程。

这条攻克之路完美体现了数学研究的典型范式：先加条件简化问题、在简化版中找核心方法、再对比原版找出技术障碍、发展新技术绕过或攻克障碍、最终完整解决。每一步都需要极深的功力和极大的耐心。

菲尔兹奖的突破性意义

菲尔兹奖每四年颁发一次，只授予40岁以下的数学家。自1936年设立以来，获奖者几乎全部来自西方数学强国。王虹和邓煜的同时获奖，不仅是中国数学的里程碑，也让"中国何时能出菲尔兹奖得主"这个长久以来的追问，终于有了答案。

值得一提的是，挂谷集猜想的影响远超纯数学范畴。调和分析中的限制问题、博纳赫-里斯猜想等都与挂谷集的最小尺寸直接相关。这些问题在信号处理、医学成像、地震勘探等领域有着广泛的应用前景。王虹和扎尔的突破，也在为这些应用领域打开新的可能性。